สมการเชิงอนุพันธ์อันดับเศษส่วนและการนำไปใช้ประโยชน์
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับเศษส่วน (fractional differential equation) คือสมการเชิงอนุพันธ์ที่ปรากฏอนุพันธ์อันดับเศษส่วนในสมการ เป็นรูปทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอันดับเป็นจำนวนเต็มบวกที่คุ้นเคยกันดีในการเรียนระดับอุดมศึกษาของนักศึกษาสาขาวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม ด้วยความที่อนุพันธ์อันดับเศษส่วนมีความละเอียดกว่าอนุพันธ์อันดับจำนวนเต็ม ทำให้เมื่อถูกนำไปสร้างแบบจำลองเชิงคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ต่าง ๆ ในรูปสมการเชิงอนุพันธ์จะมีความแม่นยำและใกล้เคียงกับความเป็นจริงกว่าสมการเชิงอนุพันธ์อันดับจำนวนเต็มบวกทั่ว ๆ ไป แนวคิดของอนุพันธ์อันดับเศษส่วนมีการให้แนวคิดจากนักคณิตศาสตร์หลายท่าน เช่น คาปูโต (Caputo) รีมันน์-ลียูวีล (Riemann Liouville) ตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับเศษส่วนที่สำคัญ ได้แก่สมการคลื่นอันดับเศษส่วน (Fractional Wave equation) สมการเทเลกราฟอันดับเศษส่วน (Fractional Telegraph equation) สมการการแพร่อันดับเศษส่วน (Fractional Diffusion equation) พบในการแพร่กระจายความดันผ่านตัวกลางที่มีรูพรุน (a porous medium) การสร้างแบบจำลองของออปชัน (options) ในคณิตศาสตร์ทางการเงิน นอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ที่สำคัญที่ใช้สมการประเภทนี้ นอกจากนี้ คือการวัดการแพร่กระจายความร้อนในโพลิเมอร์ ( the measurement of the thermal diffusivity in polymers) สมการไคลน์-กอร์ดอน อันดับเศษส่วน (Fractional Klein – Gordon equation) เป็นสมการใช้จำลองปัญหามากมายในฟิสิกส์ของสสารควบแน่น คลาสสิก และกลศาสตร์ควอนตัม สมการฟอกเกอร์–พลังค์อันดับเศษส่วน (Fractional Fokker-Planck equation) สมการเคดีวี อันดับเศษส่วน (Fractional KdV equation)
การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับเศษส่วนถือเป็นปัญหาที่สำคัญ นักคณิตศาสตร์จำนวนมากได้พยายามคิดค้นและพัฒนาวิธีการในการแกสมการเชิงอนุพันธ์เหล่านี้ ทั้งวิธีเชิงวิเคราะห์ (Analytical method) และวิธีการเชิงตัวเลข (Numerical method) เช่น วิธีการแยกอะโดเมียน (Adomian Decomposition Method) วิธีการแปลงเชิงอนุพันธ์ (Differential Transform Method) วิธีการฮอมอโทปีเพอร์เทอร์เบชัน (Homotopy Perturbation Method) วิธีการทำซ้ำแปรผัน (Variation Iteration Method) เป็นต้น
ในงานวิจัยนี้ ผู้วิจัยได้นำเสนอเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับเศษส่วน ซึ่ง เรียกว่า การแปลงซาดิกสองชั้น (Double Sadik Transform) พิสูจน์สมบัติที่สำคัญและการแปลงของฟังก์ชันพื้นฐานต่าง ๆ จากนั้นทำการประยุกต์ใช้การแปลงดังกล่าวในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับเศษส่วน ได้แก่ สมการเนเวลล์-ไวทเฮด-เซเจล อันดับเศษส่วน (Fractional Newell-Whitehead-Segel equation)
เอกสารอ้างอิง
1. Edmundo Capelas de Oliveira, José António Tenreiro Machado, “A Review of Definitions for Fractional Derivatives and Integral”, Mathematical Problems in Engineering, vol. 2014, Article ID 238459, 6 pages, 2014. https://doi.org/10.1155/2014/238459
2. Pue-on, Prapart, The Exact Solutions of the Space and Time Fractional Telegraph Equations by the Double Sadik Transform Method, Mathematics and Statistics, vol. 10(5), pp. 995 – 100
3. R.R. Dhunde and G.L. Waghmare, Solutions of Some Linear Fractional Partial Differential Equations in Mathematical Physics. J. Indian Math. Soc., 85(2018), 313–327.
สามารถอ่านบทความได้ที่ : Exploring the Remarkable Properties of the Double Sadik Transform and Its Applications to Fractional Caputo Partial Differential Equations | International Journal of Analysis and Applications (etamaths.com)
